David Quispe Cahuina

Explicación técnica extensa y enfocada a ingeniería automotriz sobre la holgura del cigüeñal (juego radial en levas/cojinetes de bancada y muñequillas) y la longitud de la falda del pistón, integrando física, química y matemática (ecuaciones, criterios de diseño, efectos térmicos, tribología, resistencia de materiales y dinámica). Vamos paso a paso (definición → física y matemáticas → efectos / interacciones → criterios de diseño y comprobaciones).

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1) Definiciones y objetivos de diseño

• Holgura del cigüeñal (clearance de bancada / muñequilla): diferencia radial entre el alojamiento (cojinete/semicarcasa) y el radio del muñón del cigüeñal. Es la variable que determina el espesor de película de aceite disponible entre metal/metal y, por tanto, la capacidad de formar una película hidrodinámica que soporte cargas, reduzca fricción y evite contacto sólido.

• Longitud de la falda del pistón (skirt length): longitud axial del pistón que interactúa con el cilindro (área lateral que guía el pistón). Influye en estabilidad lateral, amortiguación de impacto (piston slap), distribución de presión y disipación térmica.

Objetivos:

• Garantizar película de aceite suficiente (λ ratio) evitando contacto metal-metal en régimen normal.

• Minimizar fricción y desgaste, controlar vibraciones (piston slap) y asegurar vida a fatiga de cigüeñal y cojinetes.

• Controlar coeficiente de fricción y disipación térmica; evitar agarrotamiento por expansión térmica.

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2) Física y matemáticas relevantes (resumen aplicado)

2.1 Cinemática y fuerzas en el pistón–biela–cigüeñal

Puesto el cigüeñal gira a velocidad angular $\omega$, la posición del pistón $x(\theta)$ (medida desde PMS) para un sistema ideal biela–cigüeñal de brazo $r$ y longitud de biela $l$ es:

$$x(\theta) = r(1-\cos\theta) + l\left(1 - \sqrt{1 - \left(\tfrac{r}{l}\sin\theta\right)^2}\right)$$

Para desarrollos de primer orden (cuando $r/l$ pequeño) se usa la aproximación:

$$x(\theta)\approx r(1-\cos\theta) + \frac{r^2}{2l}(1-\cos 2\theta)$$

La aceleración del pistón $a_p$ (derivada segunda de $x$) produce fuerzas de inercia:

$$F_{inercia} = m_p \, a_p(\theta) = -m_p r \omega^2 \left(\cos\theta + \frac{r}{l}\cos 2\theta + \cdots\right)$$

Estas fuerzas, junto con la presión de combustión $p_g(\theta)$ sobre el área del pistón $A_p$, generan una fuerza longitudinal y una componente lateral (side thrust) al actuar la biela con cierto ángulo $\phi$. La componente lateral aproximada en la camisa debida a la presión e inercia (en equilibrio estático instantáneo) es:

$$F_{side}(\theta) \approx \left(\frac{A_p p_g(\theta) - m_p a_p(\theta)}{\sin(\beta)}\right)\tan(\beta) \quad\text{o más simplemente}\quad F_{side} \approx A_p p_g \frac{r}{l} + m_p r \omega^2 \frac{r}{l}$$

donde $\beta$ es el ángulo de la biela. En ingeniería se usa la relación $F_{side} \propto \left(A_p p_g - m_p a_p\right)\frac{r}{l}$.

2.2 Lubricación hidrodinámica del cigüeñal (fundamento y ecuación de Reynolds)

Para cojinetes de bancada/journal bearings la formación de película de aceite se describe por la ecuación de Reynolds (forma 2D para lubricante incompresible Newtoniano, régimen hidrodinámico estacionario):

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(h^3 \frac{\partial p}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(h^3 \frac{\partial p}{\partial z}\right) = 6\mu U \frac{\partial h}{\partial x} + 12\mu \frac{\partial h}{\partial t}$$

• $h(x,z,t)$ = altura de película, función de la excentricidad del eje en el cojinete.

• $\mu$ = viscosidad dinámica del aceite (función de T y pres).

• $U$ = velocidad superficial relevante (vel. tangencial del muñón).

• $p$ = presión hidrodinámica desarrollada en la película.

Para cojinetes cilíndricos se crean soluciones simplificadas: la altura de película mínima $h_{min}$ está relacionada con la holgura $c$ y el índice de excentricidad $\varepsilon = e/c$ (donde $e$ es la excentricidad del eje respecto al centro del cojinete). La holgura nominal es:

$$c = R_b - R_j$$

con $R_b$ radio de bancada interior y $R_j$ radio del muñón.

Parámetro de protección λ

Se usa el ratio λ para evaluar el régimen de lubricación:

$$\lambda = \frac{h_{min}}{\sigma}$$

• $\sigma$ = rugosidad combinada de las superficies (rms).

• Reglas prácticas: $\lambda > 3$ → lubricación de película completa; $1<\lambda<3$ → mezcla; $\lambda<1$ → contacto asperity/metal-metal.

Diseño busca $\lambda$ típicamente > 2–3 en servicio nominal.

2.3 Viscosidad y dependencia térmica / presión (química física)

La viscosidad $\mu$ del aceite es función fuerte de temperatura y presión:

• Relación empírica simplificada temperatura-dependencia (Andrade / Arrhenius-like):

$$\mu(T) = A \exp\left(\frac{B}{T}\right)$$

o modelos más prácticos (Vogel, ASTM VI index) para ingeniería. El índice de viscosidad (VI) caracteriza sensibilidad a T: aceites con VI alto cambian menos con T.

• A alta presión local (en la película) la viscosidad efectiva aumenta — fenómeno EHL (elastohidródinámico) importante en contactos con altas presiones (en cojinetes y rodamientos), para lo cual la viscosidad en función de presión $\mu(p)$ generalmente se aproxima por:

$$\mu(p) = \mu_0 \exp(\alpha p)$$

con $\alpha$ coeficiente empírico (~1e-8–1e-9 Pa⁻¹).

Química del aceite: aditivos (ZDDP, antiwear, detergentes, dispersantes, inhibidores de corrosión/oxidación) controlan desgaste, protección frente a contacto asperity, resistencia a la oxidación tras altas temperaturas (que degrada la viscosidad).

2.4 Contacto y presión en cojinetes — teoría de Hertz y distribuciones de presión

El reparto de presión en un cojinete cargado depende de la película hidrodinámica; si hubiese contacto, la teoría de Hertz estima la presión de contacto entre cuerpos elásticos:

$$p_{max}^{Hertz} \propto \left(\frac{F}{R}\right)^{2/3} \left(\frac{1}{E^*}\right)^{1/3}$$

donde $E^*$ es la rigidez equivalente. En cojinetes bien lubricados no debería alcanzarse $p_{max}$ de contacto sólido.

2.5 Deformaciones térmicas y tolerancias

La expansión térmica lineal:

$$\Delta L = \alpha_L \, L \, \Delta T$$

• Para acero $\alpha_L\approx 11\times10^{-6}$/K; para aluminio $\approx 23\times10^{-6}$/K.
  Esto es crítico: pistón de aluminio se expande mucho más que bloque de hierro o acero, por lo que la holgura pistón–cilindro debe diseñarse para el diferencial de expansión a temperatura de operación (temperatura de pistón típicamente 150–300 °C).

Para cojinetes: la temperatura del aceite y la carcasa cambia el diámetro efectivo del cojinete y modifica holgura $c$. Las holguras de diseño especifican condiciones de montaje (frío) y de operación (caliente).

2.6 Rigidez, pandeo y estabilidad de la falda

La falda del pistón actúa como una viga cilíndrica sometida a fuerzas laterales. El comportamiento elástico se modela con:

• Momento y tensión: $\sigma = \frac{M y}{I}$ donde $I$ = momento de inercia de la sección.

• Deflexión proporcional a $F L^3 / (EI)$ (viga con carga lateral), así la longitud de falda $L$ influye fuertemente (cubic) en rigidez lateral; falda corta → más rigidez (menor deflexión), pero menor área de apoyo y mayor presión superficial.

• Vibración (piston slap): frecuencia natural y amplitud dependen de masa, rigidez lateral y amortiguamiento por aceite; mayor falda = mayor amortiguamiento y menor slap.

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3) Interacción holgura–falda: qué pasa y por qué importa

3.1 Holgura del cigüeñal — funciones prácticas

• Proveer espacio para película de aceite entre muñón y cojinete: $h_{nominal} \approx$.

• Permitir expansión térmica y variaciones de montaje.

• Determinar presión hidrodinámica posible: holguras excesivas reducen la capacidad de generar presión (película excesivamente gruesa -> baja presión sustentadora), holgura muy pequeña empeora rozamiento y riesgo de contacto al calentarse o con aceite degradado.

Efecto de velocidad y viscosidad

Con $\omega$ alto y aceite de viscosidad adecuada, la presión hidrodinámica crece; la capacidad de carga $W$ de un cojinete hidrodinámico escala aproximadamente con:

$$W \propto \mu U \frac{L}{c}$$

donde $L$ es la longitud del cojinete y $U$ velocidad superficial. Resultado: mayor longitud del cojinete (o menor c) permite mayor capacidad de carga, pero menor c exige tolerancias de montaje estrechas.

3.2 Longitud de falda del pistón — efectos

• Falda larga: mayor área de contacto lateral → distribuye fuerzas laterales, reduce presión superficial, disminuye posibilidad de "gas cutting" y reduce piston slap; mayor disipación térmica por mayor área; mayor rozamiento en régimen de deslizamiento si la película es delgada.

• Falda corta: menor fricción en régimen de película mixta/plena (menos área), menor inercia lateral, pero mayor probabilidad de inestabilidad y slap, más concentración de carga y desgaste en anillos y zona de muñón.

3.3 Casos críticos y transitorios

• Arranque en frío: baja $\mu$ → película delgada → $\lambda$ baja → riesgo de desgaste por contacto. Holguras deben ser lo suficientemente grandes para permitir expansión y un espesor residual de aceite en frío, pero no tanto que se pierda la capacidad hidrodinámica.

• Sobrevelocidad y carga de pico: mayor $F$ → picos de presión en cojinetes y mayor plastificación si film falla.

• Degradación del aceite (oxidación, pérdida de VI): disminuye $\mu$, reduce $h$, aumenta riesgo de contacto.

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4) Criterios numéricos y comprobaciones de diseño (cómo se verifica en práctica)

4.1 Selección de holgura nominal $c$

• Cálculo básico: fijar $c$ tal que en condición caliente $h_{min} = c(1-\varepsilon)$ produzca $\lambda \ge 2–3$.
  Se calcula $h_{min}$ a partir de soluciones aproximadas de Reynolds o con herramientas CFD/tribológicas (software).

• Regla empírica (orientativa): para muñones principales de coches gasolina pequeños $c$ ≈ 0.02–0.05 mm; para diésel con mayores cargas $c$ puede ser 0.04–0.12 mm. (Estos valores dependen de materiales, velocidad y tamaño).

• Verificación: evaluar $p_{max}$ hidrodinámico y comparar con límite de carga permisible del revestimiento (e.g., capas de babbit o bronce), y asegurarse $\lambda$ > 2 en condiciones nominales.

4.2 Comprobación con Reynolds simplificado

• Estimar velocidad superficial $U = \omega R_j$.

• Calcular $\mu(T_{op})$ usando modelo térmico del aceite.

• Usar aproximación analítica para cojinete de longitud $L$: capacidad de carga por unidad longitud $W/L \approx \frac{\mu U}{c} f(\varepsilon)$ (f depende de excentricidad). Ajustar $c$ hasta que $W$ soportado > cargas máximas.

4.3 Comprobación de λ

• Determinar $\sigma$ (rugosidad combinada) — por inspección/fabricación, típica Ra ~ 0.2–0.4 μm para muñón rectificado; rugosidad de revestimiento mayor.

• Calcular $h_{min}$ por solución de Reynolds (o usar correlaciones) y obtener λ. Buscar λ>2–3.

4.4 Dimensionamiento de la falda

• Elegir longitud $L_{skirt}$ tal que:

  • Presión superficial $p = F_{side}/(L_{skirt} \cdot D)$ sea menor que límite de presión admisible del material en contacto (y que la carga distribuida no provoque desgaste localizado).

  • Rigidez lateral suficiente: comprobar deflexión máxima $\delta \approx \frac{F_{side} L^3}{3 E I}$ (dependiendo condiciones de apoyo) menor que tolerancia permisible para evitar rozamiento excessivo o bloqueo.

  • Vibración: comprobar frecuencia natural $f_n$ y amortiguamiento por aceite (evitar resonancias con excitaciones del motor).

• Compromiso clásico: falda más larga reduce presión superficial y slap, pero aumenta rozamiento en régimen de separación incompleta y peso.

4.5 Evaluación térmica

• Calcular temperatura del pistón $T_p$ por balance energético (potencia térmica absorbida por pistón desde la combustión menos perdida por conducción a segmentos/biela y convección al aceite).

• Usar $\Delta T$ para calcular expansión del pistón y, en consecuencia, la holgura pistón–cilindro $\Delta D = (\alpha_{Al}-\alpha_{Cil})D\Delta T$. Diseñar holgura fría para que a temperatura operativa la holgura no sea negativa (agarrotamiento).

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5) Tribología y química del lubricante: por qué importa

• Viscosidad controla formación de película. Selección de grade SAE y VI crucial.

• Aditivos antiwear (ZDDP) forman películas químicas protectoras en contacto asperity, protegiendo si λ cae a rango de mezcla.

• Detergentes y dispersantes mantienen contaminantes y subproductos de combustión en suspensión; su ausencia provoca depósitos que aumentan desgaste, cambian rugosidad y afectan λ.

• Oxidación y degradación del aceite reduce VI y aumenta formación de lacas que aumentan fricción.

Química → propiedades físico-químicas → afectan las ecuaciones de lubricación (μ(T,p)), por lo que la selección de aceite es una variable de diseño.

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6) Fatiga, resistencia y tolerancias (cigüeñal y cojinetes)

• Cigüeñal sometido a ciclos de flexión y torsión. Criterio de diseño por fatiga: se usan diagramas S-N, factores de concentración de tensiones en el radio de transición y tratamientos superficiales (e.g., nitruración, temple) para mejorar vida.

• Cojinetes: superficie suave diseñada para sacrificar material (babbitt) evitando dañar el muñón. Verificar presión media y pico: $p_{avg} = \frac{W}{L\cdot D}$; picos admitidos dependen del material.

• Contacto metal-metal por fallo de la película conduce a esfuerzo local que puede producir micropitting, arrancamiento por fatiga superficial.

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7) Prácticas de diseño y recomendaciones concretas (lista operativa)

1. Determinar cargas máximas: calcular $F_{combustion}$pico, $F_{inercia}$, y componentes laterales para todo rango rpm.
2. Seleccionar longitud de cojinete $L$ para que $W/L$ esté dentro de capacidades del revestimiento con holgura $c$ seleccionada.
3. Elegir c inicial de acuerdo a materiales y velocidad; comprobar con modelo de Reynolds y obtener $h_{min}$ → calcular $\lambda$.
4. Si $\lambda<2$ en condiciones críticas, aumentar $L$ o reducir $c$ (si manufactura/expansión lo permite) o elegir aceite con mayor VI/viscosidad.
5. Diseño de falda: dimensionar $L_{skirt}$ de forma que la presión superficial sea segura y la deflexión lateral bajo $F_{side}$ < tolerancia; comprobar frecuencia natural y amortiguamiento.
6. Control térmico: asegurar que holguras en frío resulten en holguras positivas en caliente (usar $\Delta L = \alpha L \Delta T$).
7. Materiales y acabados: pulido de muñones, refaceado de cojinete con revestimiento apropiado; elección de aleaciones de pistón (aluminio) con recubrimientos antifricción o skirt coatings.
8. Aceite: seleccionar viscosidad SAE y VI adecuados, aditivos antiwear, y mantener régimen de mantenimiento para evitar degradación.

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8) Ejemplo de cálculo conceptual (sin números específicos)

• Paso 1: calcula $F_{max}$ sobre un muñón (combustión + inercia proyectada).

• Paso 2: asume $L, D$ del cojinete, fija $c$ de diseño → estimar $W/L$.

• Paso 3: con U=ωRj​ y μ a  Top  resuelve aproximado para $h_{min}$ (o usar correlación) y calcula $\lambda$.

• Paso 4: si $\lambda$ insuficiente, aumentar $L$ o $c$ según restricción, o elegir aceite con mayor $\mu$ en caliente.

(En la práctica se usa software tribológico o tablas empíricas para estos cálculos; las expresiones analíticas aproximadas guían el dimensionamiento.)

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9) Efectos de fallo y señales de diagnóstico

• Holgura excesiva: ruido metálico (tac tac), caída de presión de aceite, aumento de vibraciones, desgaste irregular en cojinetes, fallo eventual por fatiga.

• Holgura insuficiente: sobrecalentamiento del cojín, disminución de presión de aceite (si se pega), marcas de escoria y galling en muñón.

• Falda de pistón demasiado corta: aumento de piston-slap (ruido en frío), mayor desgaste de anillos, mayor consumo de aceite.

• Falda muy larga: mayor fricción y consumo de potencia, posible bloqueo por expansión térmica si holguras no calibradas.

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10) Resumen práctico (qué cambiar / controlar en la ingeniería)

• Holgura: diseñar para λ$\lambda$≥2–3, comprobar con cambios de T y aceite; mantener tolerancias y control de acabado superficial.

• Falda: optimizar longitud por compromiso entre estabilidad lateral/amortiguamiento y reducción de fricción; dimensionar para soportar $F_{side}$ sin excesiva deflexión.

• Lubricación: seleccionar aceite con VI adecuado y aditivos antiwear; prever régimen de arranque en frío.

• Materiales: combinar expansión térmica de pistón/bloque para mantener holgura positiva en operación.

• Verificación: simular dinámicamente con modelos que incluyan acoplamiento térmico, lubricación (Reynolds/EHL), y dinámica estructural (FEM) para condiciones de velocidad y carga extrema.

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